UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS - UFGD

Curso: Gestão Ambiental (1º ano)

Disciplina: Cálculo e Estatística

Prof. Alexandre Pitangui Calixto

Ano: 2008

2ª LISTA

 

 

1.        Considerando o lançamento de três moedas. Se ocorrer o evento CCC, dizemos que temos uma seqüência, ao passo que se ocorrer o evento CKC temos três seqüências. Defina a v.a. X = número de caras obtidas e Y = número de seqüências, isto para cada resultado possível. Assim, X(CKK) = 1 e Y(CKK) = 2. Obtenha as distribuições de X e Y. Calcule E(X), E(Y), Var(X) e Var(Y).

 

2.        Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. Retire 3 bolas, sem reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

 

  1. Repita o problema anterior, mas considerando extrações com reposição.

 

  1. Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que cara apareça pela primeira vez. Seja X o número de lançamentos até que isto aconteça. Obtenha a distribuição de X.

 

5.        Seja X com distribuição dada a seguir. Calcule E(X).

x

0

1

2

p(x)

Considere a v.a.  , e calcule  para .

 

6.        O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça, é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade:

T

  2        3        4        5        6        7

p

 0,1     0,1     0,3     0,2     0,2     0,1

 

(a)     Calcule o tempo médio de processamento. Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha R$ 0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia adicional de R$ 1,00.

(b)     Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia em R$ ganha por peça.

 

7.        Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de  ou , respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de uma equipamento de 50.000 (com probabilidade de ) ou nenhuma venda (com probabilidade ). Indicando por Y o valor total de vendas diárias deste vendedor, escreva a função de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de vendas diárias.

 

8.        Uma v.a.  tem distribuição triangular no intervalo [0, 1] se sua f.d.p. é dado por:

 

(a)     Que valor deve ter a constante C, de modo que f(x) seja uma f.d.p.?

(b)     Faça o gráfico de f(x).

(c)     Determine .

 

Considere Y = X + 5.

(d)     Calcule .

(e)     Faça o gráfico de f(y).

(f)      Agora, se Y = 2X, faça o gráfico de f(y).

 

9.        Certo curso de treinamento aumenta a produtividade de certa população de funcionários em 80% dos casos. Se 10 funcionários quaisquer participam deste curso, encontre a probabilidade de:

(a)     exatamente 7 funcionários aumentarem a produtividade;

(b)     não mais do que 8 funcionários aumentarem a produtividade;

(c)     pelo menos 3 funcionários não aumentarem a produtividade.

 

10.      O diâmetro X de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem distribuição . O lucro T de cada esfera depende de seu diâmetro, onde:

Ø        ;

Ø      

Ø       .

Calcular:

(a)    as probabilidades das esferas serem boas, recuperáveis e defeituosas;

(b)    E(T).

 

11.     As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente normal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm.

(a)     Qual o número esperado de alunos com altura superior a 1,65 cm?

(b)     Qual o intervalo simétrico em torno da média, que conterá 75% das alturas dos alunos?

 

12.     A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto. Suponha que T seja considerada uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo de 150 a 300. Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo seja C1 u.m.. Se o óleo é destilado a uma temperatura inferior a 200o, o produto obtido é vendido a C2 u.m.; se a temperatura for superior a 200o, o produto é vendido a C3 u.m..

(a)     Fazer o gráfico da função densidade de probabilidade de T.

(b)     Qual o lucro médio esperado por galão?

 

13.     Na distribuição , encontre:

(a) ,

(c) ,

(b) ,

(d) .

 

14.     As notas de Estatística Econômica dos alunos de uma determinada universidade distribuem-se de acordo com uma distribuição normal, com média 6,4 e desvio padrão 0,8. O professor atribui graus A , B e C da seguinte forma:

Notas

Graus

C

B

A

 

Em uma sala de 80 alunos, qual o número esperado de alunos com grau A? E com grau B? E com grau C?

 

15.     Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1 e D2, tenham distribuições  e , respectivamente. Se o aparelho é para ser usado por período de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? E se for por um período de 49 horas?

 

16.     Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida X (em unidades de 1000 horas) que é considerado uma v.a. contínua com f.d.p. . Suponha que o custo de fabricação de um item seja US$2,00 e o preço de venda seja US$5,00. O fabricante garante total devolução se . Qual o lucro esperado por item?

 

17.     A confiabilidade de um mecanismo eletrônico é a probabilidade de que ele funcione sob as condições para as quais foi planejado. Uma amostra de 1.000 destes itens é escolhido ao acaso, e os itens são testados, obtendo-se 30 defeituosos. Calcular a probabilidade de se obter pelo menos 30 itens defeituosos, supondo que a confiabilidade do item é 0,95.

 

18.     Obtém-se a temperatura anual de uma cidade determinando-se a média das temperaturas médias no 15º dia de cada mês. O desvio padrão das temperaturas anuais da cidade, em um período de 100 anos, é 16°F. Durante os últimos 15 anos, o desvio padrão calculado foi de 10°F. Teste a hipótese de que as temperaturas na cidade se tornaram menos variáveis do que no passado, utilizando um nível de significância:

(a)     de 0,05;

(b)     de 0,01.

 

19.     Chamando de  o valor de y, tal que , e usando os valores da tabela, calcule:

(a)

(c)

(e)

(b)

(d)

(f)

 

20.     Um exame de psicologia, 12 estudantes de uma classe tiveram nota média de 7,8, com um desvio padrão de 0,6, enquanto que 15 estudantes de outra classe tiveram nota média de 7,4 com desvio padrão de 0,8. Ao nível de significância de 0,05, determine se o primeiro grupo é superior ao segundo.

 

21.     O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos, com um desvio padrão de 15 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos, e o desvio padrão foi 12 minutos. Estes resultados trazem evidências estatísticas da melhora desejada? Em caso afirmativo, estime o novo tempo de execução.

 

22.     Estamos desconfiados de que a média das receitas municipais per capita das cidades pequenas (0 – 20.000 habitantes) é maior do que a das receitas do estado, que é de 1.229 unidades. Para comprovar ou não esta hipótese, sorteamos dez cidades pequenas, e obtivemos os seguintes resultados: 1.230; 582; 576; 2.093; 2.621; 1.045; 1.439; 717; 1.838; 1.359.

(a)     Mostre que o teste de hipótese usado levará à aceitação de que a média das cidades pequenas é igual à do estado.

(b)     Você não acha estranha essa conclusão quando observa que a média da amostra obtida é bem maior do que a média do estado? Como você explicaria isso?

 

23.     O número médio diário de clientes de um posto de gasolina tem sido 250, com um desvio padrão de 80 clientes. Durante uma campanha de 25 dias, em que os clientes recebiam um brinde, o número médio de clientes foi 280, com um desvio padrão de 50. Você diria que a campanha modificou a distribuição do número de clientes do posto? Descreva as suposições feitas para a resolução do problema.

 

24.     Um fabricante de um certo tipo de aço especial afirma que seu produto tem um severo serviço de controle de qualidade, traduzido pelo desvio padrão da resistência à tensão, que não é maior do que 5 kg por cm2. Um comprador querendo verificar a veracidade da afirmação tomou uma amostra de 11 cabos e submeteu a um teste de tensão. Os resultados foram os seguintes:  e . Estes resultados trazem alguma evidência contra a afirmação do fabricante?

 

25.     Numa indústria deseja-se testar a produtividade média dos operários do período diurno é igual à produtividade média dos operários do período noturno. Para isso, colheram-se duas amostras, uma de cada período, observando-se a produção de cada operário. Os resultando obtidos foram os seguintes:

 

 

n

Diurno

Noturno

15

15

180

150

2 660

2 980

 

De acordo com esses resultados, quais seriam suas conclusões?

 

26.     Num levantamento feito com os operários da indústria mecânica, chegou-se aos seguintes números: salário médio igual a 3,64 salários mínimos e desvio padrão igual a 0,85 salário mínimo. Suspeita-se que os salários da subclasse formada pelos torneiros mecânicos são diferentes dos salários do conjunto todo. Que conclusão você obteria se uma amostra de 25 torneiros apresentasse salário médio igual a 4,22 salários mínimos e desvio padrão igual a 1,25 salário mínimo e desvio padrão igual a 1,25 salário mínimo?